.RU

§4. Логарифм числа - Методическое пособие по математике для слушателей зфтш «Перспектива» Методические указания...


§4. Логарифм числа


При вычислении логарифма числа, обозначенного , где , необходимо знать его свойства:



^ Пример. Вычислить: ;

(задача 15 блока 7)

а) Представим

б) Продолжим вычисления, используя представленные

преобразования:




Пример. Вычислить:

(задача 20 блока 7)

Преобразуем, используя свойства логарифма числа:




§5. Решение логарифмических уравнений


С помощью логарифмических свойств и алгебраических преобразований логарифмические уравнения сводятся к двум видам:

1) . Из равенства логарифмов с одним и тем же основанием следует равенство , которое требует решения алгебраического уравнения. Для получения правильного решения логарифмического уравнения необходимо сделать проверку полученного решения алгебраического уравнения, так как необходимо, чтобы .

2) . Замена переменной: приводит к

решению алгебраического уравнения . Получив решение

, переходят к решению уравнения

, то есть . Полученное

решение проверяется условием .

Пример. (задача 1 блока 8)

а) Преобразуем левую часть уравнения

. (Использованы равенства:

).

б) Приводим полученное выражение к общему знаменателю:

или .

Проверкой подтверждается только решение .

Рекомендации к решению задачи 3 блока 8.

Необходимо преобразовать:



После этого выполнять действия, подобные тем, что были при решении задачи 1.


Пример. (задача5 блока 8)

а) Заменим

б)

в)


§6. Решение логарифмических неравенств


Решение логарифмического неравенства вида

зависит от основания логарифма . При >1 переходим к решению неравенства (знак неравенства - прежний), а при

знак неравенства меняется на противоположный: . Окончательное решение логарифмического неравенства находится с учетом его области определения, то есть выполнения условий



Если основание логарифма является переменной величиной, то решение логарифмического неравенства выполняется в два этапа, когда полагается, что основание логарифма больше единицы, либо меньше единицы, но больше нуля.

Пусть Решение:



^ Пример. 0 (задача 6 блока 8)

а) Данная задача, в сравнении с той, что была описана в общем виде выше, упрощается тем, что выражение под логарифмом представлено числом 0,4<1.В этом случае 0 выполняется только тогда, когда логарифмическая функция убывает, то есть при условии

.

б) Решаем систему неравенств:




Общее решение системы: (2;).

Пример. .0 (задача 8 блока 8)

а) Необходимо решить систему неравенств:



б) Решение неравенства (1):

Неравенства (2) и (3) объединяем и решаем неравенство:



Последнее неравенство решаем мотодом интервалов и получаем решение:

в) Учитываем решение (1) и получаем общее решение (3;4)(6;).

Рекомендации к решению задачи 9 блока 8.

Необходимо рассмотреть решение двух систем.



^ Пример. 1 (задача 10 блока 8)

а) Система неравенств будет иметь вид:



б) Решение неравенства (1):

Решение неравенства (2):

Решение неравенства (3): .

Объединим полученные решения:


§7. Область определения функции. Графики функции.


Ограничения на область определения имеют следующие функциональные выражения:



Решение данных неравенств приводит к решению задачи о нахождении области определения.

Пример. (задача 13 блока 8)

Решим систему неравенств, согласно общим рекомендациям.

.

Решение задачи:

При построении графиков функций необходимо классифицировать функцию как линейную, дробно-линейную, степенную, показательную, логарифмическую тригонометрическую или обратно тригонометрическую. Графики простейших функций данного вида общеизвестны. Далее, необходимо учесть параллельный перенос осей координат, если функция преобразуется к виду .

При параллельном переносе новое начало осей координат находится в точке О1 с координатами , а оси О1Х1 и О1Y1 параллельны осям

ОХ и ОY. График функции расположен относительно точки также, как располагался бы график ().^ Рекомендации к решению задач 16,…20 блока 8 .

Задача 16: .

Начало координат О1(0;-1) является нулевой точкой новой системы координат Х1О1Y1 при параллельном переносе осей координат (О1Х1 и О1Y1 параллельны ОХ и ОY, соответственно). В новой системе координат строим гиперболу

, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях системы Х1О1Y1; учитываем, что одна из ветвей проходит через точку:



График функции отличается от графика тем, что все , поэтому необходимо все отрицательные значения заменить такими же положительными значениями .

Окончательный график представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первой и второй четвертях системы координат Х1О1Y1.

Задача 17: .

Начало координат О1(0;1). Строим график степенной функции в системе координат Х1О1Y1 , симметричный относительно О1, так как функция нечетна. График функции должен пройти через точку

Задача 18: .

Преобразуем выражение к виду

Тогда Строим график показательной функции в системе координат Х1О1Y1 в последовательности: а) (аналог)- монотонно убывающая на всей числовой оси функция, имеющая точку пересечения с осью О1Y1 (); б) все значения

переносим в отрицательную область, сохраняя числовое значение ординаты, и получаем график функции. Построенный график должен пройти через точку

Задача 19: .

Преобразуем выражение к виду . Тогда Строим график логарифмической функции в системе координат Х1О1Y1(аналог). Область определения функции в системе координат Х1О1Y1: , и график функции проходит через точку Необходимо также учесть, что графику функции принадлежит точка



Задача 20: преобразуем к виду , так как . Необходимо построить график известной функции, и все отрицательные значения ординат точек графика заменить положительными значениями.


§7. Задачи с параметрами.


Задачи с параметрами относятся к сложным задачам и имеют разную направленность. Поэтому можно дать только одну, общую для всех задач, рекомендацию: необходимо хорошо знать теоретические основы темы, обозначенной в условиях задачи.

Пример. При каком значении «а» функция возрастает на интервале (0;)? Указать наименьшее целое.

(задача 1 блока 9)

а)Тема задачи: исследование функции с помощью ее

производной. Возрастание функции определяется условием

.

б) . Необходимо решить неравенство,

при условии Квадратное неравенство будет

выполняться, если при условии больший корень

уравнения равен нулю, то есть:



Рекомендации к выполнению задачи 2 блока 9.

Функция графически представлена параболой, ветви которой направлены вверх, и, согласно условия задачи, ее вершина должна быть расположена в точке с координатами (), причем . Находим . Решаем простейшее неравенство, и, при получении ответа, учитываем условие задачи (указать наименьшее целое).

Рекомендации к выполнению задачи 4 блока 9.

Функция >0 при любых значениях и имеет наименьшее значение при условии . Найдем решение данного уравнения (для проверки: =1);

Рекомендации к выполнению задачи 5 блока 9.

В уравнении необходимо убрать знак модуля при условии: и решать уравнения

Если уравнение записать в виде то единственное решение проще найти графически, заменяя и получая уравнение . Необходимо из двух уравнений выбрать одно. Левая часть уравнения представляет собой параболу с вершиной Условие определяет значение параметра: .

Рекомендации к выполнению задачи 6 блока 9.

Преобразуем неравенство к виду ,

и будем его решать методом интервалов с нулевыми точками

. Значение может быть как больше нуля, так и меньше. Необходимо рассмотреть оба варианта и получить решение неравенства. По условию задачи, наименьшее решение должно быть равно (-1). В одном из вариантов (8-) такого решения быть не может.

^ Рекомендации к выполнению задачи 8 блока 9.

Преобразуем к виду и перейдем к решению уравнения при условии, что

Единственное решение возможно в двух случаях: 1), но один из корней уравнения или не удовлетворяют условию задачи. Для случая получаем решение , при только в случае решение будет единственным.

Рекомендации к выполнению задачи 9 блока 9.

Преобразуем к виду . Решение уравнения необходимо выполнить графически, то есть построить известные функции и подобрать значение так, чтобы точка пересечения графиков была единственной.

Рекомендации к выполнению задачи 10 блока 9.

Область определения функции находится при выполнении условий

Решение (1) и (2) определяет за исключением значений

. Решение (3) удобнее находить в виде , обозначая . Тогда . Необходимо определить минимум функции , используя равенство нулю ее производной: . Точкой минимума является точка с координатами

Выполнение условия достигается при значении

С учетом (1) и (2) решением задачи являются значения




БЛОК 1


ТЕМЫ: 1) Вычисление без калькулятора; 2) алгебраические преобразования с использованием

формул сокращенного умножения; 3) линейные уравнения и неравенства, содержащие знак модуля.


ЗАДАЧИ.

1.Обозначим двузначное число , где - число десятков, а -число единиц. Доказать, что + делится на 11, а - делится на 9.

2. Обозначим трехзначное число. Доказать, что делится на 37.

3. Доказать, что любое трехзначное число из последовательных цифр после вычитания 12 равно первой цифре, умноженной на 111.

4. Доказать, что 257+513 делится на 30.

5.Переведите периодическую дробь в обыкновенную, воспользовавшись представлением периодической части в виде бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой представляет собой известную формулу:.

Пример: 0,(3)= 0++++…=0+:(1-)=; ;


Задание: а)0,2(1); б)3,7(3); в)2,2(41); г)0,12(3); д)3,1(23); е)1,(13).

Ответ: а) б)3 в)2 г) д)3 е)1


Вычислить (рациональный счет):


6.(4+5,4+0,2(6)):(+0,0(3)+0,1). Ответ:10.


7. А´ 40%=(0,5362-0,4642):(3,62-7,2´2,4+2,42); Найти А. Ответ:0,125.


8. ((+2,708333…):2,5):((1,3+0,7(6)+0,(36)) ´)´; Ответ: 1.

9.. Ответ:.

10.. Ответ:.

11.. Ответ: - 1.

12.. Ответ: 2+1.

13.. Ответ:-2.

Выполнить алгебраические преобразования:

14.(16-8х+х2)(2-)-2(+2)-2. Ответ: 1.


15.(+-)3. Ответ: 8.


16. (+1)()()-1. Ответ: 1.

Решить уравнения и неравенства:

17. |х+12|-|х-1|=3х-8. Ответ: 7.


18. |х-3|-|х+1|=|х+5|. Ответ: -9;-1.


19. |х-1|+ х < 5-|2х-5|. Ответ: (0,5;2,75).


20. 2|х-3|+|х-1|£2х-4. Ответ: 3.


БЛОК 2.

Темы:

1) Системы линейных уравнений; 2) Задачи, связанные с квадратным выражением; 3) Рациональные неравенства.


Решить системы линейных уравнений, в том числе с параметром.

1. 2. 3.


Ответ:1,5;2;-1; Ответ: 2;-4;1; Ответ: 1;2;-2;


4.Найти все «а», при которых система имеет единственное решение.

Ответ: а¹±2;


5. Найти все «а», при которых система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: 3;


6. Найти все «а», при которых система не имеет решений.

Ответ: -1;-3;


7. Составить квадратное уравнение, если известны корни:

а) (-2;4); б)().

8. Найти корни квадратного уравнения по теореме Виета:

а) х2-10х+9=0; б) 3х2+3х-36=0.

9.Разложить на сомножители:

а) –m2+5m-6; б) - х2-8х+9.

10. Выделить полный квадрат: а) х2 +8х-33; б)2х2+6х+5.

11. Построить параболу, находя координаты вершины, точки пересечения с осями координат и направление ветвей:

а) у= х2-х+1; б) у= - х2 + 3х.

12. Решить квадратное неравенство:

а) 4-х2³0; б) 16х2-х-2£-9х-3;

в) 2х2+6х+5<0. Ответ: а) –2;2; б) –0,25; в) нет решений.

Решить квадратное уравнение, содержащее знак модуля:

13. х2 + 5½х½-6=0; Ответ: -1; 1.

14. ½х2-5х½=6. Ответ: -1;2;3;6.

Решить квадратное неравенство, содержащее знак модуля:

15. ½2х2-9х+15½³20; Ответ: (-¥;-0,5]È[5;+¥).

16. ½х2-3½<1; Ответ: (-2;-)È(;2).

Решить рациональные неравенства:


17. 2-³; Ответ: (1;1,8)È(2;¥).


18. <; Ответ: (-2;-1)È(1;3).


19. ³х-4; Ответ: (-¥;-3).


20. ³; Ответ: (-¥;-3)È(-2;0).


БЛОК 3.


Темы: 1)Решение рациональных уравнений со степенью n>2;

2)Решение нелинейных систем уравнений;

3)Решение иррациональных уравнений и неравенств.


ЗАДАЧИ.

Решить уравнения:


1.. Ответ: ±1.

2.. Ответ: 1;2;19±.

3.. Ответ: 0;-3;.

4.. Ответ: -1;-2;-3.

5.. Ответ: ±1;4;-3.

6.. Ответ:3:-6;.

7.. Ответ: -9;2;.

Решить системы уравнений:

8. . Ответ: (2;3);(3;2);

9.. Ответ: (1;4);(4;1); 10.. Ответ: (3;2);(2;3);

11.. Ответ: (1;2);(2;1);

12.. Ответ: (;);


Решить иррациональные уравнения:

13.. Ответ: (0;5/2);

14.. Ответ: (8);

15.. Ответ: (7);

16.. Ответ: (-109;80);

17.. Ответ: (-5;2);

18.>. Ответ: (-¥;-2];È(2;¥);

19.<1. Ответ: (-1;15);

20.³. Ответ: (-;1];È[2; );


БЛОК 4.

Темы: 1) Прогрессии; 2) Задачи на составление уравнений;

3) Тригонометрия.

Задачи:

  1. Три числа образуют убывающую арифметическую прогрессию, сумма которой равна 3. Известно, что сумма квадратов этих чисел равна 11. Найти разность прогрессии.

Ответ: -2.

  1. Сумма первых двух членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а отношение второго члена к пятому равно 8. Определить сумму прогрессии.

Ответ: 8.

  1. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию равна 56. Если из них вычесть соответственно 1, 7 и 21, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найти сумму первых 10 членов геометрической прогрессии.

Ответ: 8184.

  1. Сумма первого, третьего и пятого членов геометрической прогрессии равна 182,а сумма второго, четвертого и шестого ее членов 546. Сколько первых членов прогрессии следует взять, чтобы в сумме получить 242?

Ответ: 5.

  1. Три положительных числа образуют арифметическую прогрессию. Третье число больше первого на 14. Если к третьему числу прибавить первое, а остальные два оставить без изменения, то получиться геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Ответ: 7; 14; 21.

  1. Среди 11 членов арифметической прогрессии первый, пятый и одиннадцатый являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если седьмой член прогрессии равен 42.

Ответ: 24; 3.

7. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10% с

назначенной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько

процентов прибыли предполагал получить магазин

первоначально?

Ответ: 20%.

8.Два завода должны были по плану выпустить з60 станков в

месяц. Первый завод выполнил план на 112%, а второй на

110%, и поэтому оба завода выпустили за месяц 400 станков.

Сколько станков сверх плана выпустил каждый завод?

Ответ: 24; 16.

  1. Имеется 5л 70%-го раствора серной кислоты. Сколько литров 80%-го раствора серной кислоты нужно долить в этот раствор, чтобы получился 72%-й раствор серной кислоты?

10.Первый сплав содержит металлы в отношении 1:2, а второй

– те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих

сплавов можно получить третий сплав, содержащий

металлы в отношении 17:27?

11.Поезд был задержан на 15 минут, поэтому, чтобы прибыть

На станцию по расписанию, проходил оставшийся до нее

путь в 120 км, увеличив скорость по сравнению со

скоростью по расписанию в 1,2 раза. С какой скоростью

прошел поезд 120 км?

12.В бассейн проведены три трубы. Через первые две вода

заливается, через третью вытекает. Через одну первую

трубу бассейн может наполниться за 2 часа, через одну

вторую за 5 часов, а через третью трубу вся вода из

наполненного бассейна может вытечь за 10 часов. За какое

время наполнится бассейн, если открыть все три трубы?


Вычислить значение выражения:


13. . Ответ: 3/2.

14.. Ответ: 2.

15.. Ответ: .

16. если . Ответ: ±9.

17.. Ответ: 0.


Решить уравнения:

18. Ответ: ±20°+60°n.

19. (0°<£180°).

Ответ:30;90;150;180.

20. .


БЛОК 5


ТЕМЫ: 1)Производная функции; 2) планиметрия.


ЗАДАЧИ.

1.В каких точках касательные к графику функции имеют угол наклона к оси ОХ, равный 45? Напишите уравнения этих касательных.

Ответ: при x=1; при x=-2.

2. В каких точках касательные к графику функции y=0,5arcsinx имеют угол наклона к оси ОХ, равный 30?

Ответ: (0,5;); (-0,5;-);

3. На параболе y=x2 взяты две точки с абсциссами Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней параллельна проведенной секущей?

Ответ: (2;4).

4. На графике функции y=x2 найти точку, касательная к которой перпендикулярна прямой x+2y+1=0.

Ответ: (1;1).

5. Тело массой 100 ед. движется прямолинейно по закону s(t)=2t2+3t+1. Определить кинетическую энергию тела через t=5сек. после начала движения.

Ответ: 26450.

6. Найти значение функции в точке ее минимума:

Ответ: 27.

7. Найти угловой коэффициент прямой, соединяющей точки экстремума функции y=x3-6x2+9x+1.

Ответ: -2.

8. Найти минимальное целое значение параметра

4-nedemokraticheskie-politicheskie-rezhimi-konspekt-lekcij-2011-g-batichko-vl-t-konstitucionnoe-pravo-zarubezhnih.html
4-neftyanaya-promishlennost-otchet-ekspertov.html
4-nekotorie-vivodi-konstitucionnoe-pravo-gosudarstv-evropi.html
4-neproizvoditelnie-viplati-ezhekvartalnij-otchet-otkritoe-akcionernoe-obshestvo-bumagodelatelnogo-mashinostroeniya-kod-emitenta.html
4-niu-ramn-prakticheskomu-zdravoohraneniyu-stranica-2.html
4-normativnie-dokumenti-dlya-razrabotki-oop-vpo-po-specialnosti-130400-65-gornoe-delo-specializaciya.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/vi-psihoanaliticheskoe-uchenie-o-boleznyah-iii-razvitie-psihoanaliza-v-germanii.html
  • report.bystrickaya.ru/hronologicheskaya-tablica-georgij-vladimirovich-vernadskij-mihail-mihajlovich-karpovich.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sintez-himiko-tehnologicheskoj-shemi.html
  • textbook.bystrickaya.ru/instrumentarij-dlya-organizacii-integrirovannogo-obucheniya-posredstvom-internet.html
  • urok.bystrickaya.ru/poyasnitelnaya-zapiska-ftiziopulmonologiya.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-monitoring-sredi-obitaniya-po-napravleniyu-280100-bezopasnost-zhiznedeyatelnosti-specialnosti-280101-bezopasnost-zhiznedeyatelnosti-v-tehnosfere.html
  • tasks.bystrickaya.ru/332-reshenie-nekotorih-inzhenernih-zadach-svyazannih-s-opredeleniem-krena.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/513upravlenie-obshestvennih-svyazej-merii-goroda-novosibirska-i-vzaimodejstviya-s-administrativnimi-organami.html
  • gramota.bystrickaya.ru/zagaln-zasadi-admnstrativnogo-sudochinstva-v-ukran.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/pravila-priema-na-obuchenie-po-specialnostyam-bakalavriata-ao-finansovaya-akademiya.html
  • knigi.bystrickaya.ru/ris-49-shematicheskij-geologicheskij-razrez-fosforno-uranovogo-mestorozhdeniya-praktikum-po-geologii-poleznih-iskopaemih.html
  • assessments.bystrickaya.ru/chast-vtoraya-tonal-i-nagval-skazka-o-sile.html
  • textbook.bystrickaya.ru/kniga-irvinga-gofmana-predstavlenie-sebya-drugim-v-povsednevnoj-zhizni-stranica-4.html
  • esse.bystrickaya.ru/r-miheev.html
  • tasks.bystrickaya.ru/3-perehod-k-politike-levocentrizma-krizis-levocentrizma-v-seredine-70-h-gov-ubijstvo-aldo-moro.html
  • control.bystrickaya.ru/dokumentaciya-ob-aukcione-dlya-provedeniya-otkritogo-aukciona-v-elektronnoj-forme.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/polozhenie-ob-obshestvennoj-palate-polozhenie-ob-ulichnih-komitetah-polozhenie-o-molodezhnom-parlamente-glava-organi-mestnogo-samoupravleniya-i-inie-municipalnie-organi-organi-mestnogo-samoupravleniya-1-stranica-17.html
  • lecture.bystrickaya.ru/630-lesnoe-hozyajstvo-lesovodstvo-1-1069-0-obshij-otdel-00-obshie-voprosi-nauki-i-kulturi.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/naimenovanie-magisterskoj-programmi-nanoelektronika-tema-magisterskoj-dissertacii-srok-sdachi-gosudarstvennogo-ekzamena-po-napravleniyu-2012-g-srok-predostavleniya-dissertacii-iyun-2012-g.html
  • credit.bystrickaya.ru/otchyot-po-rezultatam-samoobsledovaniya-2001-2006-gg-samara-2006-stranica-3.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-klyukvinskogo-selsoveta-kurskogo-rajona-sezda-associacii-sovet-municipalnih-obrazovanij-kurskoj-oblasti.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-6-metodi-socialnoj-psihologii-medicinskaya-psihologiya.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/razdel-5-administrativno-pravovoe-regulirovanie-v-otraslyah-i-sferah-gosudarstvennogo-upravleniya.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/razvitie-instrumentalnih-sredstv-dlya-postroeniya-kompyuternih-obuchayushih-sistem-tehnologicheskogo-personala.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-svyazi-s-obshestvennostyu-public-relations-pr-dlya-studentov-specialnostej-080504-gosudarstvennoe-i-municipalnoe-upravlenie.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/teatr-i-ego-dvojnik-teatr-i-kultura1-antonen-arto-manifesti-dramaturgiya-lekcii-filosofiya-teatra-simpozium-sankt-peterburg.html
  • thescience.bystrickaya.ru/ispolzovanie-nacionalno-regionalnogo-komponenta-v-obuchenii-matematike.html
  • literature.bystrickaya.ru/dim-v-stolice-rossijskaya-gazeta-nedelya-27012011-rossijskie-smi-o-mchs-monitoring-za-9-sentyabr-2011-g.html
  • shkola.bystrickaya.ru/organizaciya-banketa-kofe-na-24-cheloveka.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/organizaciya-raboti-komissii-po-chrezvichajnim-situaciyam-stranica-4.html
  • institut.bystrickaya.ru/tam-gde-nas-zhdut-mi-vsegda-okazivaemsya-tochno-v-srok-dnevnik-maga.html
  • notebook.bystrickaya.ru/informacionno-analiticheskaya-zapiska.html
  • institut.bystrickaya.ru/tema-13-administrativnaya-otvetstvennost-metodicheskie-ukazaniya-k-seminaram-disciplina-administrativnoe-pravo.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/novikova-tamara-yakovlevna-zaveduyushaya-bibliotekoj-maou-sosh-57-tyumen.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/sravnitelnaya-tablica-attestacii-uchitelej-5-11-klassov-analiz-metodicheskoj-raboti-upravleniya-obrazovaniya-za-2009-10-uchebnij-god.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.