.RU

4.3. Моделирование колебательных систем - Учебное пособие Под общей редакцией проф. В. П. Дьяконова


^ 4.3. Моделирование колебательных систем 4.3.1. Анализ линейной колебательной системы
Известно множество линейных систем, создающих почти синусоидальные колебания - самые простые из известных. Это струна музыкальных инструментов, маятник часов, LCR-колебательный контур, колеблющаяся молекула вещества и т.д. Все эти устройства и системы при малых амплитудах колебаний можно описать линейным дифференциальным уравнением второго порядка, вид которого представлен в заголовке рис. 4.14. Там же даны типичные решения этого уравнения с помощью блока


… Выздоравливаемостью
Рис. 4.13. Моделирование эпидемии


Given и функции Odesolve системы Mathcad 2000/2001 (в более ранних версиях этой функции нет).

Поведение линейной системы сильно зависит от параметра a - затухания. При его отрицательных значениях амплитуда колебаний нарастает по экспоненциальному закону. При a=0 создаются незатухающие синусоидальные колебания. Однако этот процесс нестабилен - малейшее изменение a в ту или иную сторону приводит либо к нарастанию колебаний, либо к их затуханию. При больших положительных a (теоретически a>0.25) переходный процесс в системе становится апериодическим. Все эти случаи можно анализировать аналитически, но численный метод решения с помощью функции Odesolve намного проще и нагляднее.
^ 4.3.2. Анализ нелинейной колебательной системы Ван дер Поля
А теперь рассмотрим поведение нелинейной колебательной системы второго порядка. Характер нелинейности системы может быть самым различным. Классическим стал анализ нелинейных систем, описываемых нелинейным дифференциальным уравнением второго п
орядка - уравнением

Рис. 4.14. Решения дифференциального уравнения второго порядка,

описывающего поведение линейных колебательных систем


Ван дер Поля. Рисунок 4.15 показывает документ системы Mathcad, в котором такое уравнение решается при параметре =0,5. Этот параметр задает характер решения, как и начальные условия для x(t) и dx(t)/dt. При положительных  колебания в системе нарастают, но вследствие нелинейности системы их амплитуда ограничивается, а форма становится заметно отличной от синусоидальной.

Дифференциальное уравнение второго порядка можно разбить на два уравнения первого порядка. Этот случай решения уравнения Ван дер Поля представлен на рис. 4.16. Оба варианта решения совершенно равноценны. Во втором случае показано поведение системы при отрицательном параметре =-0,5. В этом случае возникшие вначале колебания затухают во времени.

Системы, колебания в которых возникают без внешних воздействий, принято называть автономными системами. Помимо систем класса Ван дер Поля к ним относится и описанный выше генератор колебаний на туннельном диоде и большинство автогенераторов синусоидальных и релаксационных колебаний.


Р
ис. 4.15. Решение уравнения Ван дер Поля (вариант 1)
^ 4.3.3. Моделирование системы Дафинга с внешним воздействием
Поведение неавтономных нелинейных систем второго порядка, находящихся под внешним воздействием, может быть очень сложным. В этом можно убедиться на примере системы Дафинга, описывающей процессы в нелинейных резонаторах с внешним воздействием, например, в лазерных резонаторах. Пример численного моделирования процессов в такой системе дан на рис. 14.17.

Дифференциальное уравнение Дафинга второго порядка имеет дополнительный кубический член в левой части, а правая часть представляет внешнее косинусоидальное воздействие. Форма колебаний такой системы довольно сложна из-за наложения внутренних колебаний на внешние, причем частоты колебаний сильно различаются. В итоге время от времени может наступать автосинхронизация колебаний, но из-за нелинейности системы и изменения амплитуды собственных колебаний может наблюдаться срыв синхронизации, сопровождаемый скачкообразными и довольно хаотическими изменениями параметров системы. Тем не менее фазовый портрет системы имеет два фокуса, соответствующих более низкочастотной компоненте колебаний. Эти фокусы соответствуют статистической оценке наиболее вероятных видов (мод) колебаний.


Р
ис. 4.16. Решение уравнения Ван дер Поля (вариант 2)
^ 4.3.4. Хаос и моделирование аттрактора Лоренца()
Броуновское движение частиц, моделирование которого мы уже провели, и колебания в системе Дафинга являются проявлениями хаоса в природе. Наблюдая за изменениями курса акций, сходами ледников и снежных лавин или за колебаниями температуры, мы нередко убеждаемся в том, что наряду с вполне предсказуемыми изменениями того или иного параметра (например, повышением температуры летом и понижением зимой) нередко наблюдаются хаотические изменения, которые трудно или невозможно заранее предвидеть.

Иногда «развал», казалось бы, устойчивой системы приводит к резким изменениям ее поведения - наш «черный вторник» или обвал рубля в 1988 году тому наглядные примеры, как и крупный террористический акт в центре одной из самых стабильных стран мира - США. Существует достаточно обоснованное мнение, что хаотическое поведение систем куда больше характерно для природы, чем стационарное, происходящее с неизменяемыми во времени параметрами. Так что хаос стал одним из важных объектов изучения современной наукой. Его моделирование осуществляется на основе численных метод
ов.

Рис. 14.17. Решение уравнения Дафинга


Чем сложнее система и чем большим количеством дифференциальных уравнений она описывается, тем больше вероятность возникновения в системе хаотических режимов - даже если она автономна. Изучение этого вопроса показало, что уже в системах из трех дифференциальных уравнений возможно возникновение хаотических режимов. Наглядным примером этого является аттрактор Лоренца, пример моделирования которого представлен на рис. 14.18. При определенных значениях параметров r и b и начальных параметров переменных поведение аттрактора (он в этом случае называется странным аттрактором) очень напоминает хаотические колебания в системе Дафинга.

Аттрактором в теории колебаний называется притягивающая область в фазовом пространстве. Причины неустойчивости аттракторов связаны с экспоненциальной неустойчивостью системы в малых областях фазового пространства. При этом наблюдаются хаотические переходы из одной области фазового пространства в другие области, но при этом колебания могут не выходить из некоторой более обширной области фазового пространства. «Обвал» системы означает переход в некоторое состояние, резко отличающееся от других состояний, т.е. выход за пределы ограниченного фазового состояния системы. Такое состояние может оказаться устойчивым и приводит к переходу с
истемы в статическое состояние, при котором изменения ее параметров отсутствуют.

Рис. 14.18. Моделирование аттрактора Лоренца

90-predmet-teorii-prava-i-gosudarstva-voprosi-i-otveti.html
90-zachet-2-semestr.html
9026n-72-novgorodskij-sbornik-byulleten-novih-postuplenij-za-mart-2011g.html
904-uchitel-savchenko-si-analiz-raboti-metodicheskogo-obedineniya-uchitelej-obshestvovedcheskih-disciplin-mou.html
91-chto-takoe-supruzheskoe-konsultirovanie-tipi-supruzheskih-problem.html
91-geografiya-geograficheskie-issledovaniya-zemli-i-a-b-krasnova-knigi-chuvashskoj-respubliki-1991-1995-retrosp.html
  • institut.bystrickaya.ru/truhan-gs-plan-meropriyatij-po-provedeniyu-nedeli-kachestva-socialnih-uslug-v-g-krasnoyarske-s-10-11-2008-po-14-11-2008-.html
  • crib.bystrickaya.ru/informacionnie-tehnologii-v-specialnom-obrazovanii.html
  • bukva.bystrickaya.ru/ot-chego-nas-hotyat-spasti-nlo-ekstrasensi-okkultisti-magi-stranica-27.html
  • urok.bystrickaya.ru/prikaz-ot-30-aprelya-1999-g-n-203-o-sovershenstvovanii-raboti-gosreestra-v-red-postanovleniya-gosstandarta-rf-ot-08-01-2002-n-2.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/rossijskoj-federacii-zabajkalskij-agrarnij-institut-filial-fgbou-vo-irkutskij-gosudarstvennij-agrarnij-universitet-imeni-a-a-ezhevskogo.html
  • college.bystrickaya.ru/2-noyabr-2007.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-gidravlika-i-neftegazovaya-gidromehanika-napravlenie-podgotovki.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/vopros-60-voprosi-k-kandidatskomu-ekzamenu-po-specialnosti-08-00-10-finansi-denezhnoe-obrashenie-i-kredit.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-vakuumnaya-i-plazmennaya-elektronika-obrazovatelnoj-professionalnoj-programmi-opp.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-7-a-a-a-vot-ti-gde-rodimij-zasekla.html
  • textbook.bystrickaya.ru/kniga-odnogo-iz-vedushih-masterov-psihodrami-pitera-feliksa-kellermana-predstavlyaet-soboj-sistematicheskij-vzglyad-na-odin-iz-samih-vdohnovennih-i-zagadochnih-metodov-sovremennoj-psihoterapii-stranica-8.html
  • holiday.bystrickaya.ru/obshij-obzor-sobitij-pohoda-1812-g-v-rossiyu-pervaya-chast-stranica-5.html
  • essay.bystrickaya.ru/doklad-o-rabote-dvadcat-pervoj-sessii-komiteta-po-selskomu-hozyajstvu-ksh.html
  • shpora.bystrickaya.ru/zaklyuchenie-sohranenie-samoidentifikacii-obshestva-edinstvennij-otvet-na-vizov-globalizacii.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/referat-na-temu-sovremennie-taheometri.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tehnicheskoe-zadanie-razdel-obshie-trebovaniya-predmet-aukciona-nachalnaya-maksimalnaya-cena-kontrakta.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/razdel-viii-plani-seminarskih-zanyatij-issledovanie-faktorov-povisheniya-effektivnosti-proizvodstvennih-fondov-i-oboro.html
  • desk.bystrickaya.ru/polozhenie-o-rajonnom-konkurse-shkola-bezopasnosti.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/klassifikaciya-tehnicheskih-sredstv-i-sistem-radiosvyazi-dostoinstva-i-nedostatki-radiosvyazi.html
  • studies.bystrickaya.ru/dinamika-estestvennonauchnogo-poznaniya-chast-2.html
  • holiday.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-po-proizvodstvennoj-praktike-fakultet.html
  • reading.bystrickaya.ru/kolonializm-neokolonializm-opit-slovarya-novogo-mishleniya.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-plan-dlya-specialnosti-072000-standartizaciya-i-sertifikaciya-napravlenie-653800-standartizaciya-sertifikaciya-i-metrologiya.html
  • esse.bystrickaya.ru/programma-povisheniya-kvalifikacii-municipalnih-sluzhashih-municipalnogo-obrazovaniya-gorod-kazan-respubliki-tatarstan-informacionnie-i-kommunikacionnie-tehnologii-v-municipalnom-upravlenii.html
  • assessments.bystrickaya.ru/byulleten-associaciya-predpriyatij.html
  • abstract.bystrickaya.ru/23-napravleniya-sovershenstvovaniya-upravleniya-obektami-gosudarstvennoj-sobstvennosti.html
  • education.bystrickaya.ru/2-vzaimosvyaz-nervnoj-endokrinnoj-i-immunnoj-sistem-detskogo-cerebralnogo-paralicha.html
  • literatura.bystrickaya.ru/servisnaya-deyatelnost.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/neverbaln-zasobi-komunkac-chast-2.html
  • shkola.bystrickaya.ru/raspredelitelnaya-logistika-2.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/tema-6-psihologiya-vzaimootnoshenij-uchebno-metodicheskoe-posobie-v-2-h-chastyah-dlya-studentov-zaochnoj-formi-obucheniya.html
  • report.bystrickaya.ru/gospodi-pomiluj-ni-cheshskij-horal.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zadanie-na-proektirovanie-po-obektu-prilagaetsya.html
  • thescience.bystrickaya.ru/itogo-2-67642-rub-na-assortiment-izdatelskoj-produkcii-dlya-komplektovaniya-fondov-bibliotek-muk-cbs-g-irkutska.html
  • credit.bystrickaya.ru/perechen-nauchnoj-i-uchebnoj-literaturi-kafedri-politologii-omgu-im-f-m-dostoevskogo-stranica-7.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.